Projekt interdyscyplinarny 2012: Jak szukać środka ciężkości bryły jednorodnej?

Dla ciał dających się przedstawić (dokładnie lub z wystarczającym przybliżeniem) w postaci skończonego lub co najwyżej przeliczalnego zbioru mas punktowych, środek ciężkości znajduje się, obliczając punkt przyłożenia wypadkowej siły ciężkości działającej na ciało. Dane ciało dzieli się na elementy o masach $m_k, k=1, 2, 3 \dots$ (niekoniecznie równych), z każdym elementem wiąże się wektor $\vec r_k$ , reprezentujący jego położenie w obranym układzie współrzędnych oraz wartość $g(\vec{r_k})$ przyspieszenia grawitacyjnego działającego w punkcie $\vec r_k$ . Wówczas środek ciężkości ciała wyraża się przez:

$\vec r_0={{\sum_k m_k g(r_k)\vec r_k}\over{\sum_k m_k g(r_k)}}$

W polu grawitacyjnym jednorodnym wszystkie

g (r k)

są równe, zatem wzór powyższy po skróceniu upraszcza się do postaci:

$\vec r_0={{\sum_k m_k \vec r_k}\over{\sum_k m_k}}$

Suma w mianowniku wyraża masę ciała zaś obliczony środek ciężkości jest w tym przypadku tożsamy ze środkiem masy.
Powyższa zależność dla ciał ciągłych, zapisana w postaci wyrażeń całkowych, wiąże środek masy z rozkładem gęstości

ρ

w przestrzeni za pomocą zależności:

$\vec r_0={1 \over M} \int\limits_V \rho \vec r d V$

w której M oznacza masę ciała, obliczaną jako całka z jego gęstości:

$M=\int\limits_V \rho dV\,$

a całkowanie zachodzi po całej objętości V ciała, przy czym:

$\vec r_0$ to wektor środka masy;

M to masa ciała;
V to objętość ciała;
$ρ = ρ(x, y, z)$ to funkcja gęstości ciała

Jeżeli ciało zawiesić nieruchomo na nici, to środek ciężkości znajduje się na przedłużeniu nici.